ANALYTISCHE TRIGONOMETRIE DER EINHEITSKREIS Eine NALYTISCHE TRIGONOMETRIE ist eine Erweiterung der rechtwinkligen Dreiecks-Trigonometrie. Sie findet auf der x-y-Ebene statt. Denn Trigonometrie, wie sie eigentlich im Kalkül und in der Physik verwendet wird, ist nicht die Lösung von Dreiecken. Es wird die mathematische Beschreibung der Dinge, die rotieren oder vibrieren, wie Licht, Ton, die Pfade von Planeten um die Sonne oder Satelliten um die Erde. Es ist daher notwendig, Winkel von beliebiger Größe zu haben und auf sie die Bedeutungen der trigonometrischen Funktionen auszudehnen. Wir machen das jetzt. Lassen Sie einen Radius der Länge r einen Winkel theta in Standardposition ausfegen. Und seinen Endpunkt haben Coumurinate (x. Y). Die Frage ist: Wie sollen wir nun die sechs trigonometrischen Funktionen des Theta definieren? Wir nehmen unser Stichwort aus dem ersten Quadranten. In diesem Quadranten wird ein Radius r an einem Punkt (x, y) enden. Diese Cooumlrdinate definieren ein rechtwinkliges Dreieck. Die rechtwinkligen Definitionen (Topic 2) der sechs trigonometrischen Funktionen folgen. Auf diese Weise erweitern wir die Bedeutung der trigonometrischen Funktionen auf Winkel, die in einem beliebigen Quadranten enden. Es ist in Bezug auf die Cooumlrdinate (x. Y) des Endpunktes einer Entfernung r vom Ursprung. Aber bevor wir ein Beispiel geben, betrachten wir diese Frage: Wird eine Funktion von theta von der Länge von r abhängen. Um die Antwort zu sehen, fahren Sie mit der Maus über den farbigen Bereich. Um die Antwort wieder zu decken, klicken Sie auf Refresh (Reload). Beantworten Sie die Frage selbst zuerst Nein, wird es nicht. Die Funktionen sind definiert als die Verhältnisse der Seiten, nicht ihre Längen. Sagen Sie, dass AB, AC zwei verschiedene Radien sind. Aber die Dreiecke ABD, ACE sind ähnlich. (Theorem 15) Proportional, sin theta - gegenüber Hypothenuse - hängt nicht von der Länge des Radius ab. Und ähnlich für die übrigen Funktionen. Deshalb können wir einen beliebigen Radius wählen. Typischerweise nehmen wir r 1. Das heißt Einheitskreis. wie wir sehen werden. Die trigonometrischen Funktionen hängen tatsächlich nur vom Winkel theta ab - und aus diesem Grund sagen wir, dass sie Funktionen von theta sind. Beispiel 1. Eine am Ursprung eingesetzte Gerade endet am Punkt (3, 2), wenn sie einen Winkel theta in der Standardposition abstreift. Werten Sie alle sechs Funktionen des Theta aus. Problem 2. Die Zeichen in jedem Quadranten. A) Das algebraische Zeichen von sin theta wird immer das Vorzeichen dafür sein, a) cooumlrdinate y. Weil sin theta y r. Und r ist immer positiv. A) Deshalb, in dem die Quadranten die Theta - y - positiv I und II sin - gen werden. A) In welchen Quadranten sin theta negativ III und IV werden. B) Das algebraische Zeichen von cos theta wird immer das Vorzeichen dafür sein, b) cooumlrdinate x. Weil cos theta x r. Und wieder ist r immer a) Daher werden die Quadranten cos theta - x - positiv I und IV sein. A) In welchen Quadranten wird cos theta negativ II und III sein. C) In welchen Quadranten wird das algebraische Zeichen von tan theta (y x) positiv I und III sein. X und y werden die gleichen Zeichen haben. D) In welchen Quadranten wird das algebraische Zeichen von tan theta negativ II und IV sein. X und y haben entgegengesetzte Vorzeichen. E) csc theta wird das gleiche Vorzeichen haben wie die andere Funktion sin theta. Weil sie Kehrwerte sind. F) sec Theta haben das gleiche Vorzeichen wie die andere Funktion g) cot theta wird das gleiche Vorzeichen haben wie die andere Funktion Ein Quadrantalwinkel ist ein Winkel, der auf der x - oder y-Achse endet. A) Was sind die Quadrantenwinkel in Grad 0deg, 90deg, 180deg, 270deg und Winkel coterminal mit ihnen. B) Was sind die Quadrantenwinkel im Bogenmaß Problem 7. Erklären Sie, warum wir folgendes schreiben können, wobei n irgendeine ganze Zahl sein könnte. (Minus1) n plusmn1, entsprechend n ist gerade oder ungerade. Wenn n gleich (oder 0) ist, dann ist cos n pi coterminal mit 0 Radianten und (minus1) n 1. Siehe Einheitskreis. Wenn n ungerade ist, dann ist cos n pi coterminal mit pi Radiant und (minus1) n minus1. Bitte spenden Sie, um TheMathPage online zu halten. Auch 1 wird helfen. Copyright copy 2017 Lawrence Spector Fragen oder Anmerkungen2. Sine, Cosinus, Tangential und die reziproken Verhältnisse Für den Winkel theta in einem rechtwinkligen Dreieck, wie gezeigt, benennen wir die Seiten als Hypothenuse (die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite) neben der gegenüberliegenden Seite (die Seite am weitesten) Aus dem Winkel) Wir definieren die drei trigonometrischen Verhältnisse sin theta. Cosinus Theta. Und tangentes theta wie folgt (wir schreiben diese normalerweise in den verkürzten Formen sin theta cos theta und tan theta): Lesen Sie weiter unten 8681 Um diese zu erinnern, verwenden viele Menschen SOH CAH TOA, das heißt: Die reziproken trigonometrischen Verhältnisse Oft ist es Nützlich, um die reziproken Verhältnisse, abhängig von dem Problem zu verwenden. (In einfachem Englisch wird der Kehrwert eines Bruches durch Drehen des Bruchteils gefunden.) Kosekant theta ist der Kehrwert von sine theta, Secant theta ist der Kehrwert der Kosinustheta und Cotangent theta ist der Kehrwert der Tangente Theta Diese als csc theta. Sek theta und Kinderbett theta. (In einigen Lehrbüchern wird csc als cosec geschrieben.) Wichtiger Hinweis: Es gibt einen großen Unterschied zwischen csc theta und sin -1 x. Das erste bedeutet 1sin theta. Die zweite Methode besteht darin, einen Winkel zu finden, dessen Sinus x ist. So auf Ihrem Rechner, verwenden Sie nicht Ihre sin -1 Taste, um csc theta zu finden. Die trigonometrischen Funktionen auf der x-y Ebene Für einen Winkel in Standardposition. So definieren wir die trigonometrischen Verhältnisse in x, y und r: Beachten Sie, dass wir die Sintheta noch als opphyp costheta als adjhyp und tan theta als oppadj definieren, aber wir verwenden die definierten x-, y - und r-Werte Durch den Punkt (x, y), den die Klemmseite durchläuft. Wir können jeden Punkt auf dieser Linie wählen, natürlich, um unsere Verhältnisse zu definieren. Um zu finden, r. Wir verwenden das Pythagoras-Theorem, da wir ein rechtwinkliges Dreieck haben: Es ist nicht überraschend, daß die reziproken Verhältnisse in den x-, y - und r-Werten ähnlich wie folgt definiert sind: Wir werden einige Beispiele für die genauen Werte im nächsten sehen Abschnitt, Werte der trigonometrischen Funktionen raquo.
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